连续复利法错误漫谈十八篇(续二) (河北电大 高俊科)

连续复利法错误漫谈十八篇(续二)---连续复利收益率，”连续复利” ”收益率”，从来没弄懂其确切含义的概念

1 连续复利收益率是什么?

连续复利是由两个词加成的，是在”复利”前面加了”连续”两个字。在中文里，连续复利收益率（Continuously compounded rate of return）是由两个词或者说是由三个词加起来的，即”连续复利” ”收益率”或者”连续” ”复利” ”收益率”。

关于收益率，是上过小学的人都知道的概念，就是经过时间T后的值A(T)减初值A。之差与初值A。的比。张家投资100万经营商店，一年后成了200万，这投资的年收益率是100%；从另一方面说，张家投资100万经营商店，这投资的年收益率是100%，一年后就成了200万。这是上过小学的人都会计算的。这里强调一下，计算一年的收益率，是计算一年的总收入，不涉及，也不用考虑具体哪几个月是赔还是赚的问题。

计算收益率问题为什么还要加上”连续复利”，对此有没有怪怪的感觉?

对这为什么，可以说，从来就没有搞清楚。计算收益问题与计算利息的问题一样，与计算资金增值问题一样，这当就是构成”连续复利” ”收益率”的一个原因。

2 所谓的连续复利模型是错误的

连续复利模型构成的思路是:年利率是100%，经过1年，100元就成为200元；每年计算一次利息，半年的利率取为100/2=50%，按复利一年计算两次，一年后本利和就是100(1 100/2)^2=225元；按此方法，一个月计算一次，月利息取成100%/12，一年后本利和就是261.3元；这样一天计算一次，一年后的本利和就是271.64元；如果每秒，再短的时间计算一次 实现”立即存入，立即结算”，一年后的本利和就是271.83元。

用这种方法计算利息，借款一方是绝对不会同意的，这种计算利息的方法根本不存在。把这种方法用公式表示就是: 根据复利公式A。(1 r)^t (1)，将一年分成m次计算，每次利率取为r/m,这样一年计算m次 ,t年计算mt次，就得复利分期计算公式A。(1 r/m)^(mt) (2) ，令m趋于无穷大，得到所谓连续复利计算公式A。e^(rt) (3)。

对于年利率r=100%，从(1)式和(2)式推导出(3)式，就是根据A。(1 100%)^t推导出A。e^(tx100%)=A。(1 171.28%)^t，比较一下式子结构，就是根据100%推导出了171.28%，这是用世界上任何知识都推不成的。

前面第三篇到第八篇从六个方面分析了这种计算方法的错误，这里概说一点。错误的关键点是，(1)式(2)式和(3)式中的r是同一个数值 ，(2)是单调递增函数，无论在银行储蓄中还是在其它任何领域，世界上没有能利用(2)式靠增加计算次数就使事物数量变大变多的事物。

3 应用中构成指数函数A。e^(rt) 的三种方法

指数函数A。e^(rt)(3)有不同于(1)的用处，通常书中A。e^(rt)可由三种方法得出。

方法一，如上节 用(1)式A。(1 r)^t 推导出了(3)式A。e^(rt).

方法二，将(1)式变形得数学恒等式

A。(1 R)^t =A。e^(txln(1 R))=A。e^(rt)(4)

在计算复利时，其中的R为普通复利率，R的含义等同于(1)式中的r，这里r=ln(1 R).

这里的推导与方法一是两回事。

再有就是，恒等式(4)两端相同的字母含义必须是一致的，两端的字母、时间变量或都只取整数，或都可取非整数。时间变量的取值范围是根据事物需要、或由事物属性决定的，不是由数学推导决定的。比如，某校今年招生10000人，今后每年招生增加10%，计算今后几年的招生人数同样可有恒等式10000(1 10%)^t =10000e^(0.9531t) ，时间变量只取整数。由此又可看到，从(1)到(3)的推导，从t的取值范围上就是不成立的。

方法三，许多事物如细胞繁殖、树木生长、镭的衰变以及资金增值等事物的变化规律符合方程 (dA(t)/dt)/A(t)=r, A(0)=A。 (5)

解这方程得A。e^(rt).

4 在糊涂的错误思维中形成的概念---连续复利率

用复利公式A。(1 r)^t (1)式推导出了A。e^(rt)(3)式， (1)式中的r为普通利率(普通收益率)，于是就 称A。e^(rt)中的r为连续复利率(Continuous compound interest rate)，也就称由方法二得到的A。e^(rt)式子中的r为连续复利率 ；还有的书，如Bittinger M L编写的《微积分及其应用》(第8版，中文译本，2006年机械工业出版社出版)中混用参数r的含义，对同一r用这里的方法一和方法二得出A。e^(rt)。连续复利率概念就是在这样错误、混乱思维下形成的。

在这个问题上，国内外的书籍一样，在讲连续复利模型后，绝大多数书中是把普通复利率r当作连续复利率r使用，这就形成计算方法上的错误，对此，这里不再举例；少数书中先讲连续复利模型，在后边计算中改正了这一错误，但仍使用”连续复利率”这一概念，如英国人编写的《核心金融概念：100条金融术语解读与应用》就是这样讲这样用的，前边讲连续复利模型，后边在计算中应用的是方法二的推导，这就否定了方法一连续复利模型的推导，但又使用了这种模型基础上形成的概念(连续复利率)，总之，也没有能完全跳出连续复利模型的错误思维。

总之，构成连续复利率的基础是错误的，对于这概念的数值使用是矛盾的，这概念的含义也是模糊的。

5 在糊涂的错误思维中形成的概念---连续复利收益率

收入率问题的计算类似复利问题的计算，于是就凑成了”连续复利” ”收益率”，形成了连续复利收益率这一概念。

一般来讲，投资收益被认为是呈指数函数A。(1 R)^t =A。e^(rt)规律增值的，收益情况由参数R或r表达，除时间变量外，其它都是常数。对于未来的股票、期货投资，其收益是随机的，实际收益率是随机的，不符合正态分布，转换成ln(1 随机收益率)为正态分布，用统一的概念才能计算，在相关应用中，用到的无风险利率R也必须做同样的转换，也是将复利公式A。(1 R)^t 转换成A。e^(rt)，这种转换与所谓的连续复利计算没有任何关系，认识不到这一点就跳不出所谓连续复利计算的思维。

下边是《百度百科》上关于连续复利收益率解释的截图。其中的数量关系是对的，就是上边讲的构成A。e^(rt)的方法二。

这解释中的证明思路仍没有跳出连续复利模型的错误，所以就有了解释”以连续复利生息”。

构成A。e^(rt)方法三是，函数的变化率除以函数自身，得到的r是数量1的变化率，这是一很有意义的参数。可见《今日头条》上的文章《连续复利错误漫谈十八篇》第十四篇或中国知网上的文章《连续复利收益率探源》。

表达汽车匀速运动的公式是vt，即时速度是随机的，期望值为v，时段[0，t]上的路程也是随机的，期望值为vt.

对随机收入表达式A。e^(rt)中的指数rt ，可类同于匀速运动中的公式vt理解，其概率分布的正态性也当一样，不再赘述。

有些书中是以取对数做差分定义连续复利收益率，从数学构成和应用上，这定义没有问题，与本篇中讲的构成A。e^(rt)方法二一致，用了连续复利收益率概念，实际与连续复利模型无关，这里也不再详述。