基于二叉树的可转换债券定价研究(二叉树模型可以为欧式看涨期权定价)

本节讲解一种生成无期权债券无套利价值的方法，并提供一个基于利率树的框架，该框架应用场景丰富，可以应用于有期权债券的估值。

对于无期权债券，求解无套利价值最简单的方法是使用基准即期利率对未来预期价值的现值求和。基准证券是流动性强、安全性高的证券，其收益率可作为构造特定国家或货币的其他利率的基础。

主权债务是许多国家的基准。例如，在美国，正在流通的国债被视为基准证券。从国债收益率曲线推导出的平价利率可以用bootstrapping方法获得即期利率。金边债券是英国的基准。在主权债务市场流动性不足的市场，互换曲线也是一个可行的选择。

在本节中，基准债券被市场认为是正确定价的。我们开发的估值模型将被构建出以准确复制基准债券的价格。

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对于无期权债券，用即期利率折现就会得出无套利估值。对于内嵌期权的债券，我们需要一种不同的方法。在设计含期权债券估值框架时面临的挑战是，这些债券未来的预期现金流取决于利率变化。如果债券不含期权，利率的变化对债券未来现金流的大小和时间没有影响。对于含期权的债券，未来利率的变化会影响期权被行使的可能性，从而影响现金流。因此，为了开发一个对含期权或不含期权债券共同的估值框架，我们必须假设利率在未来以假定的波动水平表现不同的值。我们用到的工具是利率“树”，它可以描述某一假定波动率下的未来利率。由于利率树类似于一个点阵，该模型也被称为“点阵模型”。利率树在估值过程中有两个功能：（1）生成与利率相关的现金流；（2）提供用于确定现金流现值的利率。这种方法将在之后可赎回债券的学习中用到。

利率模型试图找出能够解释利率动态变化的因子。这些因子在本质上是随机的，所以我们不能预测任何一个特定因子的走向。因此，利率模型必须构建一个描述这些因子随机性的统计过程，以便合理准确地描述利率的行为。更重要的是，常用的利率模型主要基于短期利率随时间演变而构建。因此，这些利率模型被称为单因子模型，因为随着时间变化，模型只构造出一个利率。更复杂的模型考虑一种以上的利率随时间的变化（例如短期利率和长期利率），称为双因子模型。

我们的任务是构造利率二叉树框架。我们所尝试建立的模型叫做利率二叉树模型。之所以这样命名，是因为在与波动率假设一致和与利率模型一致的两个可能值中，短期利率可以采用其中的一个。我们很快就会发现，在下一个时间周期，两种可能的利率符合以下三个条件：（1）描述利率随机过程的利率模型，（2）假设的利率波动水平，（3）当前的基准收益率曲线。我们在模型中采用给定的基准债券价格，这样我们的模型对债券估值时，我们就可以借助基准债券将模型价格与市场价格进行调整。通过这种方式，我们将模型与反映经济现状的实际收益率曲线联系起来。

利率二叉树

利率二叉树估值方法的第一步是使用特定国家或货币的债券来构造基准票面利率曲线。为了便于说明，我们在这里使用美元。不论什么国家或货币，同样的原则具有同等效力。基准票面利率曲线见图表1。为简单起见，我们假设所有债券的票息都按年支付。基准债券以票面价值定价，因此到期收益率和票面利率是相同的。根据这些票面利率，我们使用bootstrapping方法来得出图表2中所示的基本即期利率。由于票面利率曲线是向上倾斜的，所以在第1年后，即期利率高于票面利率就不足为奇了。在图表3中，我们给出了应用无套利原则，由即期曲线推导出的一年期隐含远期利率。因为票面曲线、即期曲线和远期曲线反映了关于利率的相同信息，所以如果已知这三条曲线中的一条，就可以生成其他两条曲线。只有当收益率曲线是平坦的时候，这三条曲线才相同。

图表1 基准票面利率

图表2 一年即期利率

图表3 一年期隐含远期利率

回想一下我们之前的讨论，如果我们使用从这些曲线得出的利率来对基准债券估值，我们将得出图表2中所有5种债券的票面价值。具体来说，票面利率代表的是对所有产生市场价格的现金流适用的单一利率。用即期汇率对每个现金流分别折现也会得到相同的答案。最后，远期利率是单笔现金流在单个时期内的折现率。如果我们用各时期的折现率对每笔现金流进行折现，计算出的值将与观察到的价格相匹配。

如果一支债券包含与利率相关的现金流，当我们对该债券估值时，必须对利率变化予以明确。我们通过引入利率波动率并生成利率树来完成这一任务。利率树是一种基于利率模型和利率波动假设所推断出的利率可能值的简单可视化表示。

利率二叉树如图表4所示。我们的目标是学习如何用利率来对这个结构进行填充。注意这里的i，它代表不同的潜在取值，一年的利率可能会随着时间的推移而改变。当我们在树上从左往右移动时，利率可能取值的数目就会增加。第一个点是当前时间（以年为单位），或者称作Time 0。Time0显示的利率是将Time 1的现金流转换为Time 0的现值所使用的折现率。在图表的底部，时间是度量单位。注意，利率之间的时间是一年。这被称为“时间步长”，在我们的例子中，它与付息频率（按年付息）相匹配。图表5中的i称为节点。第一个节点称为树的根节点，它是Time 0时的一年期即期利率。

图表4 利率二叉树

接下来我们要讨论的问题是，在当前时刻，如何获得一年期利率的两个可能的值。这里需要用到两个假设：利率模型和利率波动。回想一下，利率模型的结构建立在随机性之上。我们将使用对数正态随机游走，得到的树结构通常被称为对数正态树。利率的对数正态模型满足了利率的两个特性：（1）利率的非负性（2）利率越高，波动性越大。在Time 1的每个节点，都有两个可能的一年期远期利率。我们暂时假定每一个事件发生的概率是相等的。我们要计算的两种可能的利率，将会分别高于和低于在Time 1时的一年期远期利率。我们用iL表示比隐含的远期利率低的利率，而iH是比隐含的远期利率高的远期利率。对数正态随机游走假设i1,L和i1,H之间存在如下关系:

其中σ是标准差、e是自然底数（2.7183）。每个时间周期的随机可能性（近似）集中在通过基准曲线计算出的远期利率上。我们可以把收益率曲线上的一年期远期隐含利率看作是Time1时一年期利率可能值的平均值。两个利率中较低的一个，iL，比均值（一年期隐含远期利率）低一个标准差；而iH比均值高一个标准差。因此，较高和较低的值（iL和iH）是相互的倍数，乘数为e2σ。请注意，标准差（即波动性）增加，乘数增加，两个利率之间的差距将会增加，但它们仍然（近似）处于由即期曲线计算出的隐含远期利率曲线上。接下来我们将对此进行说明。

我们用下面的符号来描述Time 1的树。让

σ=假设的一年期利率波动性，

i1,L =一年后（Time 1）一年期远期利率低的值，和

i1,H = 一年后（Time 1）一年期远期利率高的值。

举个例子，假设i1,L是1.194%，σ是每年15%，然后i1,H = 1.194% (e2×0.15) = 1.612%。在Time 2时，一年期利率有三个可能的值，表示如下:

i2,LL =Time 2的一年期远期利率，假设Time 1和Time 2的利率均是低利率

i2,HH =Time 2的一年期远期利率，假设Time 1和Time 2的利率均是高利率

i2,HL =Time 2的一年期远期利率，假设Time 1时取高利率、Time 2时取低利率，或者Time 1时取低利率、Time 2时取高利率。

中间的利率与由即期曲线推导出的两年后的隐含一年期远期利率相近，而其他两个利率分别高于和低于这一值的两个标准差大小。（回想一下，二叉树上相邻的两个利率之间的乘数是e的2σ次方）。这种类型的树称为重叠二叉树，因为中间的利率可以由两条路径求得。模型的这一特点使得计算速度更快，因为每个周期可能出现的利率结果数量是呈线性增长、而不是呈指数增长的。i2,LL与另外两个一年期利率的关系如下:

和

在给定的时间段内，树中相邻的两个可能结果之间的差值是两个标准差。例如,如果i2,LL是0.980%，σ是15%，则

i2,HH = 0.980%(e4×0.15)= 1.786%

和

i2,HL = 0.980%(e2×0.15)= 1.323%。

Time 3的一年期远期利率有四个可能的值，分别如下：i3,HHH, i3,HHL, i3,LLH和i3,LLL。二叉树中的所有远期利率都是每年可能的最低利率的倍数。Time 3的最低远期利率是i3,LLL，与其他三个相关的利率如下：

图表6显示了一个四年的利率二叉树。我们可以简单地将基准收益率曲线上的隐含远期利率作为二叉树图上的一年期利率的中心数值：将it看作从当前开始之后t年的一年期利率作为中心利率。下标表示年末的利率，比如在第二年，是Time 2到Time 3的利率。图表5使用了这种统一的表示方法。注意，二叉树中相邻的远期利率之间距离是两个标准差(σ)。

图表5 期限为四年的利率二叉树

在尝试构建利率树之前，需要另外两个工具。这些工具将在接下来两部分中介绍。

什么是波动率，它是如何估计的？

方差用来度量概率分布离散程度。标准差是方差的平方根，用来对波动性进行度量，标准差的单位与均值相同。在一个简单的对数正态分布中，利率的变化与每个时期的单期利率水平成正比。波动性是根据当前的利率水平来衡量的。它可以表示一年期利率的对数正态分布的标准差等于i0σ。例如，如果σ是10%，一年期利率（i0）是2%，那么一年期利率的标准差是2%×10% = 0.2%，或者称20个基点。其结果是，当利率数值高时，利率的波动就较大；当利率数值低时，利率的波动就较小。对数正态分布的好处之一是，如果利率太接近于零，利率的绝对变化就会越来越小。负利率是不可能的。通常有两种方法用于对利率波动进行估计。第一种方法是利用历史的利率波动进行估计：波动率是根据近期已经发生的数据来计算的，假设最近发生的事件预示着未来。第二种方法是基于观察到的利率衍生品的市场价格（例如，互换、上限、下限）。这种方法被称为隐含波动率。