国内外多门课程中存在的: 错误的推导，可笑的解释，荒谬的应用

这错误在国内外高等数学、金融学、货币银行学、工程经济学、公司理财等多门课程中长期存在，凭常识判断肯定是不相信的，我们先看看这是不是错误的推导，再从认识和应用两个方面各举一个很基础很简单，谁都应该能看懂的例子。我们讨论知识的对与错，要靠事实说话，所以就列举了三部教材的例子。数学是基础，这错误起源于数学家雅各布.伯努利，数学中的错误解释和应用更容易看明白，因此这里都是选取了数学教材中的例子。

一 错误的推导

例 2018年出版的《高等数学》中推导这种连续复利计算公式的过程(见下面图片)是:

每年计息一次，得资金总额公式

S(1 r)^t ，如果以1/n年为单位计算复利，则得S(1 r/n)^(nt) ，如果每时每刻计算复利(称为连续复利)，即n→∞，则得到Se^(rt) .

注意这种推导就是对同一个字母r,由S(1 r)^t 得S(1 r/n)^(nt)，再得出Se^(rt) .

推导过程错误:第一步用的公式S(1 r)^t 是所谓不连续计算公式，时间变量t只取整数，t=0.25、0.5、0.75时无意义，是不可计算的。在第二步中的公式S(1 r/n)^(nt)中,例如n=4时，t=0.25、0.5、0.75就有意义了，就是可以计算的了，第二步中的条件就否定了第一步中的条件，后边的话就否定前边的话。用后边的话否定前边的话，无论在自然科学还是在社会科学中的推理过程中，这都是违背基本逻辑的，都是错误的。

推导结果错误:以年利率10%为例，这种推导就是根据S(1 10%)^t 推导出了

Se^(0.1t)=S(1 10.517%)^t ，也就是根据10%推导出了10.517%。须知，这是用任何知识都推导不出来的。

产生这种错误的根源:产生这种错误的根源在于S(1 r/n)^(nt)的构成。每1/n年计算一次利息，用的是单利折算，每1/n年的利率折算成r/n，返回来计算总额又用复利法，“先分后总”，来回走的不是一条路，这样计算资金总额就越来越大。银行储蓄应用的分期计算公式可以写成S(1 r(n)/n)^(nt),这公式中的名义年利率r(n)对应一年中的计息次数n, 储蓄期短，一年中计息次数n增加，相应的名义年利率r(n)一定减小 。连续复利计算公式推导中用到的公式S(1 r/n)^(nt)与此不是在实际应用中不存在。

我们还可从其它多角度分析这种方法的错误，这种推导错误无疑。

二 可笑的解释

对于错误的方法，怎么也不会有合理的正面解释，各种教材中关于其意义的解释都是不对的，这里举一个最容易看懂的错误解释。

例 2006年立信会计出版社出版的一种《高等应用数学》（上册）(该书48页)讲了连续复利公式的推导，在推导出所谓连续复利计算公式Se^(rt)后解释说，这“意味着资金运用率最大限度的提高”。

这解释是很离谱的。一是，在实际经济活动中，资金运用率的提高是在具体的资金调度、运转和使用中实现的，与这里讲的分期计算公式S(1 r/n)^(nt)连续复利计算公式Se^(rt)无关；二是，即便是在具体的利息计算中，自己与自己计算不会产生一分的经济效益，不会提高资金利用率；在与他人进行利息计算时，若采用Se^(rt)计算，使自己“资金运用率最大限度的提高”，就是让对方“最大限度的”的损失，对方是不会同意的。这解释是完全脱离实际的， 是很离谱的。

说连续复利计算公式的推导，由S(1 r)^t 推导出Se^(rt) 是错误的，这绝不是说表达式Se^(rt) 错误。在某些问题中必须用恒等式的方法将S(1 r。)^t(注意这里是字母r。)转化成Se^(rt) 形式，这种转化与所谓连续复利计算公式的推导是两回事。

三 荒谬的应用

讲了这种连续复利计算法，就要讲这方法的应用。这方法是错误的，不存在正确的应用，教材编写者就只有编题凑题，按这错误方法配置习题就必然是错误的，以致把小学题搞错了。

例 1982年出版的一本《经济数学应用基础(一)微积分》中的习题是，“已知职工人数的年增长率为v,原有职工人数为N。，试确定5年后职工人数的精确值。”见下图习题19。

根据增长率概念，这题的年增长率就是，

(N(n 1)-N(n))/N(n)=v，这题的答案就是

N。(1 v)^5 ，这是一道简单的小学题，得出任何不同于N。(1 v)^5的答案都是错误的。

而这题要求学生按照求连续复利计算公式的方法，给出解答是:

职工人数的年增长率是v,一年计算一次，5年后职工人数是

N。(1 v)^5；一年中计算n次，每1/n年的增长率是v/n, 5年后职工人数就是N。(1 v/n)^(5n)，令n→∞，得5年后职工人数精确值为N。e^(5v)。

这答案N。e^(5v)是错误的，荒谬到在把小学数学题搞错了，这种明显荒谬的错误在其它教材中也存在(如对此有异议，可写出自己对“年增长率”的定义，给出这习题不同的答案，以便大家辨析)。

总之，对同一个字母r表达的年利率，由S(1 r)^t 推导出连续复利计算公式Se^(rt) 推导错误，解释错误，应用错误，三错一体。

再思考一下，自然科学和社会科学各个领域的实际问题中要不要，能不能进行连续计算 是由事物本身特性决定的 ，不是由数学推导决定的 。是不是这个道理?由此也可想到所谓连续复利计算公式的推导是错误的。

对下边这一段可只看叙述，如有兴趣可深究一下内容。

就我们查阅到的书籍，用到连续复利计算公式Se^(rt) 时，90%以上的书中根据S(1 r)^t 到Se^(rt) 的推导，把S(1 r)^t 中的r直接用到Se^(rt) 中去，S(1 r)^t与Se^(rt)计算的数值自然不相等。就是说，关于连续复利计算，90%以上的书讲错用错。

有很少的书，不到10%的书，如2004年华夏出版社出版的英国人斯坦纳的著作《核心金融概念：100条金融术语解读与应用》中用到所谓连续复利计算公式Se^(rt) 时，特别强调用代换r=ln(1 r。)，其中r。为S(1 r。)^t中的普通利率。这实际就是应用

Se^(rt)=Se^(ln(1 r。)t)=S(1 r。)^t(恒等式)

这样计算的数值还是用的普通复利公式S(1 r。)^t，这计算是对的 ，实际上就否定了连续复利的推导。关于连续复利 ，这些书是讲错用对。前面讲错，应用时又纠正了前面讲法的错误，这种正确应用仅有数学恒等式即可。

要不要，能不能进行连续计算 是由事物本身特性决定的，不由数学公式形式决定，上边这恒等式两边都可用来进行离散计算(时间变量只取整数)，也都可用来进行连续计算(时间变量可取任意实数)，所谓连续复利计算方法的推导在实际中也不需要。