（三）递延年金终值与现值
1.递延年金终值：支付期（A的个数）的普通年金终值，与递延期无关
2.递延年金现值
在递延期末或支付期初（第一笔年金发生的前一个时点）将时间轴分成两段。
【例题·计算分析题】（2018年考生回忆版）
2018年年初，某公司购置一条生产线，有以下四种方案。
方案一：2020年年初一次性支付100万元。
方案二：2018年至2020年每年年初支付30万元。
方案三：2019年至2022年每年年初支付24万元。
方案四：2020年至2024年每年年初支付21万元。
已知：
要求：
（1）计算方案一付款方式下，支付价款的现值；
（2）计算方案二付款方式下，支付价款的现值；
（3）计算方案三付款方式下，支付价款的现值；
（4）计算方案四付款方式下，支付价款的现值；
（5）选择哪种付款方式更有利于公司。
『正确答案』
（1）100×（P/F，10%，2）＝100×0.8264＝82.64（万元）
（2）以2018年初为时点0，则第一笔年金发生于2018年初（时点0），属于预付年金。
30×（P/A，10%，3）×（1＋10%）＝30×2.4869×1.1＝82.07（万元）
或：30＋30×（P/A，10%，2）＝30＋30×1.7355＝82.07（万元）
（3）以2018年初为时点0，则第一笔年金发生于2019年初（时点1），属于普通年金。
24×（P/A，10%，4）＝24×3.1699＝76.08（万元）
（4）以2018年初为时点0，则第一笔年金发生于2020年初，即第2年末，属于递延年金，则：递延期＝2－1＝1；支付期为2020年至2024年，共5期。
21×（P/A，10%，5）×（P/F，10%，1）＝21×3.7908×0.9091＝72.37（万元）
（5）由于方案四的付款额现值最小，所以应该选择方案四。
（四）永续年金现值
1.永续年金现值
知识点：利率的计算——插值法
1.只涉及一个货币时间价值系数，可以直接通过货币时间价值系数表推算利率。
【示例】某投资项目需要现在一次性投资1000万元，预计在未来5年内，每年年末可获得现金净流量250万元。则该投资项目的预期收益率是多少？（按每年复利一次计算）
（1）确定期数已知、利率未知的货币时间价值系数。
由：250×（P/A，i，5）＝1000，可知：
（P/A，i，5）＝1000/250＝4
（2）查相应的货币时间价值系数表，确定在相应期数的一行中，该系数位于哪两个相邻系数之间，以及这两个相邻系数对应的利率：
（P/A，7%，5）＝4.1002
（P/A，i，5）＝4
（P/A，8%，5）＝3.9927
（3）根据“利率差之比＝对应的系数差之比”的比例关系，列方程求解利率i。
解得：i＝7.93%
【提示】
1）运用插值法需注意利率与货币时间价值系数之间对应关系的正确性。在期数一定的条件下，复利终值系数和年金终值系数与利率正相关（利率越高，系数越大），复利现值系数和年金现值系数与利率负相关（利率越高，系数越小）。
2）上述插值法的步骤也可以用于在利率已知的情况下，推算期数。
2.同时涉及多个现值或终值系数，需要采用逐次测试法推算利率。
【示例】25×（P/A，i，4）＋30×（P/F，i，5）＝100，则利率i可以推算如下：
（1）通过逐次测试，确定两个相邻的利率，使“25×（P/A，i，4）＋30×（P/F，i，5）”的值分别高于和低于100。
i＝9%时，25×（P/A，9%，4）＋30×（P/F，9%，5）＝25×3.2397＋30×0.6499＝100.49
i＝10%时，25×（P/A，10%，4）＋30×（P/F，10%，5）＝25×3.1699＋30×0.6209＝97.87
（2）根据“利率差之比＝对应的现值差之比”的比例关系，列方程求解利率i。
解得：i＝9.19%
知识点：名义利率与实际利率
1.一年多次计息时的名义利率与实际利率
（1）一年多次计息（计息期短于1年）时，给出的年利率为名义利率，按照复利计算的年利息与本金的比值为实际利率，即实际利率是每年复利一次（计息期为1年）的年利率。
【示例】名义利率为年利率10%，1年复利2次（半年复利1次），本金为100元，则：
1年后的本利和＝100×（1＋5%）2＝110.25（元）
年利息＝110.25－100＝10.25（元）
实际利率＝10.25/100＝10.25%
在“年利率10.25%，每年复利一次”的条件下，本金100元1年后的本利和为110.25元，即：实际利率10.25%是与名义利率“年利率10%，1年复利2次”等效的每年复利一次的年利率。
（2）名义利率与实际利率的换算
①换算的性质：将1年内复利多次的名义利率，换算成与之等效的1年复利一次的实际利率。
【示例】将名义利率“年利率10%，1年复利2次”换算成实际利率，就是求：
年利率10%，1年复利2次＝年利率？，1年复利1次
P×（1＋10%/2）2＝P×（1＋i）
i＝（1＋10%/2）2－1＝10.25%
②换算公式
实际利率＝（1＋名义利率/每年复利次数）每年复利次数－1
由公式可见，在一年多次计息（计息期短于1年）时，实际利率大于名义利率，并且在名义利率相同的情况下，一年计息次数越多（计息期越短），实际利率越大。
【例题·单项选择题】（2018年考生回忆版）
公司投资于某项长期基金，本金为5000万元，每季度可获取现金收益50万元，则其年收益率为（ ）。
A.2.01%
B.1.00%
C.4.00%
D.4.06%
『正确答案』D
『答案解析』季度收益率＝50/5000＝1%，年收益率＝（1＋1%）4－1＝4.06%。
【例题·判断题】（2016年）
公司年初借入资金100万元，第3年年末一次性偿还本息130万元，则该笔借款的实际年利率小于10%。（ ）
『正确答案』√
『答案解析』实际利率是1年复利1次（计息期等于1年）的年利率。如果该笔借款的实际年利率为10%，则第3年年末一次性偿还本息应为100×（F/P，10%，3）＝133.1万元，大于130万元，所以该笔借款的实际年利率小于10%。
2.通货膨胀情况下的名义利率与实际利率
（1）通货膨胀情况下的名义利率与实际利率的概念
（2）通货膨胀情况下的名义利率与实际利率之间的换算
①1＋名义利率＝（1＋实际利率）×（1＋通货膨胀率），即：
②通货膨胀率＜名义利率，则：实际利率＞0；
③通货膨胀率＞名义利率，则：实际利率＜0。
【例题·单项选择题】（2018年考生回忆版）
已知银行存款利率为3%，通货膨胀率为1%，则实际利率为（ ）。
A.2%
B.3%
C.1.98%
D.2.97%
『正确答案』C
『答案解析』实际利率＝（1＋3%）/（1＋1%）－1＝1.98%。
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