1. 和、差、倍、分问题

（1）倍数关系：

通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.

（2）多少关系：

通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩

余…”来体现.

和、差、倍、分应用题

1、某校购买了A，B两种教具共138件，共花了5400元，其中A教具每件30元，B教具每件50元，两种教具各买了多少件？

解答：设A教具买了x件，则B教具买了（138-x）件，依题意有：

30x 50（138-x）=5400

解得x=75，

则B教具买了：138-75=63件，

答：A教具买了75件，B教具买了63件．

2、为发展校园足球运动，某校决定购买一批足球运动装备，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，求每套队服和每个足球的价格是多少．

解答：设每个足球的价格是x元，则每套队服是（x 50）元，

根据题意得2（x 50）=3x，

解得x=100，

x 50=150．

答：每套队服150元，每个足球100元．

3、列方程解应用题：

改革开放40年来，我国铁路发生了巨大变化，现在的铁路运营里程比1978年的铁路运营里程多了75000公里，（关注公众号：初一数学语文英语）其中高铁更是迅猛发展，其运营里程约占现在铁路运营里程的20%，只差600公里就达到了1978年的铁路运营里程的一半．问1978年的铁路运营里程是多少公里．

解答：设1978年铁路运营里程为x公里，

由题意，得x-600=20%（x 75000），

解得x=52000．

∴1978年铁路运营里程为52000公里．

4、机械厂加工车间有90名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮28个，已知大齿轮和小齿轮要按1：2配成一套，问需安排多少名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？（用一元一次方程解答）

解答：设安排x人加工大齿轮，则（90-x）人加工小齿轮，

才能使每天加工的代销齿轮刚好配套，由题可得

16X：28（90－Ⅹ）＝1：2，

解得：x=42，

∴需安排42名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套．

5、第十六届亚运会于2010年11月27日在中国广州举行，我国体育健儿发扬奋勇拼搏，敢于争先的奥运精神，在这次亚运会上共获得416枚奖牌，其中金牌数是铜牌数的2倍多3枚，而铜牌数比银牌数少21枚，请问：中国体育健儿共获得金牌、银牌、铜牌各多少枚？

解答：设获得铜牌x枚，则金牌（2x 3）枚，银牌（x 21）枚，

则2x 3 x 21 x=416，

4x=392，

x=98．

∴2x 3=199，x 21=119．

答：共获得金牌199枚，银牌119枚，铜牌98枚．

6、列方程解应用题．

某餐厅有4条腿的椅子和3条腿的凳子共40个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有145条，那么有几个椅子和几个凳子．

解答：设有x个椅子．

根据题意列方程，得4x 3（40-x）=145．

解方程，得：x=25．

∴40-x=15．

答：有25个椅子，15个凳子．

7、某快递员准备送出一批美术用纸共25500包，其中包括素描纸、手工彩色卡纸和水粉纸三种美术用纸，（关注公众号：初一数学语文英语）它们的数量比为1：2：14，该快递员准备送出的这三种美术用纸各多包？

解答：设素描纸包数为x，

则手工彩色卡纸为2x，水粉纸为14x，

∵美术用纸共25500包，

∴x 2x 14x=25500，

17x=25500，

x=1500（包）．

∴2x=3000（包），14x=21000（包），

答：素描纸为1500包，手工彩色卡纸为3000包，水粉纸为21000包．

8、制作一张桌子要用1个桌面和4条腿，1立方米木材可制作20个桌面或者制作400条桌腿，现有24立方米木材，（关注公众号：初一数学语文英语）应分别计划用多少立方米木材制作桌面和桌腿？

解答：计划用x立方米木材制作桌面．则用（24-x）立方米木材制作桌腿．

由题意，得20x×4=（24-x）×400．

整理，得6x=120，

解，得x=20．

24-20=4．

答：计划用20立方米木材制作桌面，4立方米木材制作桌腿．

9、某工厂现有15m3木料，准备制作各种尺寸的圆桌和方桌，如果用部分木料制作桌面，其余木料制作桌腿．

1）已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，如果1m3木料可制作40个桌面，或制作20条桌腿．要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，直接写出制作桌面的木料为多少m3．

制作桌面的木料为5m3．

2）已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．根据所给条件，解答下列问题．

（1）如果1m3木料可制作50个桌面，或制作300条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套．

设用xm3木料制作桌面，则用（15-x）立方米木料制作桌腿恰好配套，

由题意得4×50x=300（15-x），

解得：x=9，

∴制作桌腿的木料为：15-9=6（m3）．

答：用9m3木料制作桌面，用6m3木料制作桌腿恰好配套．

（2）如果3m3木料可制作20个桌面，或制作320条桌腿，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子．

设用ym3木料制作桌面，则用（15-y）m3木料制作桌腿能制作尽可能多的桌子，

由题意得4×20×=320×，

解得y=12，

∴15-12=3m3．

答：用12m3木料制作桌面，用3m3木料制作桌腿能制作尽可能多的桌子．

差倍问题专项训练（附解析版答案）

1.养殖场鸡是鸭的4倍，鸡比鸭多15000只，鸡和鸭各养了多少只？

【答案】鸡有20000只，鸭有5000只

【解析】试题分析：由题意“鸡是鸭的4倍”知：鸡比鸭多3倍，又因为“鸡比鸭多15000只”，根据除法的意义列式求出一份的量，即鸭的只数，又由“鸡比鸭多15000只”，用鸭的只数加上15000只，就是鸡的只数。

解：4-1=315000÷3=5000（只）

5000 15000=20000（只）

答：鸡有20000只，鸭有5000只。

2.哥哥的图书数比弟弟多60本，哥哥的图书本数是弟弟的3倍，则哥哥、弟弟各有图书多少本？

【答案】90；30

【解析】把弟弟的本数作为1倍,则

弟弟的本数=60÷(3-1)=30(本)

哥哥的本数=30×3=90(本)

答:弟弟的本数是30本,哥哥的本数是90本。

3.今年小亮爸爸的年龄是小亮年龄的5倍，小亮比爸爸小28岁，3年前小亮父子俩的年龄和是多少岁？

【答案】3年前小亮父子俩的年龄和是36岁

【解析】试题分析：由题意，今年小亮爸爸的年龄是小亮年龄的5倍，小亮比爸爸小28岁，即28岁是小亮年龄的（5﹣1）倍，由此用除法可求得小亮今年的年龄，进而求得爸爸今年的年龄；再都减去3后相加即得3年前小亮父子俩的年龄和。

解：小亮今年的年龄：28÷（5﹣1）=7（岁）

爸爸今年的年龄：7×5=35（岁）

3年前小亮父子俩的年龄和：

（7﹣3） （35﹣3）=36（岁）

答：3年前小亮父子俩的年龄和是36岁。

4. 李静和张华集邮，李静集的张数是张华的2.5倍，如果张华再集60张就和李静同样多。两人原来各有多少张邮票？

【答案】张华原来有40张邮票，李静原来有100张邮票

【解析】试题分析：

李静集的张数是张华的2.5倍，把张华的张数看作单位“1”，李静集的张数相当于张华的2.5倍，也就是说李静集的张数比张华的张数多2.5﹣1=1.5（倍），由“如果张华再集60张就和李静同样多”，说明李静集的张数比张华的张数多60张，所以张华的张数是60÷（2.5﹣1）；再根据倍数关系，求出李静集的张数。

解：张华的张数为：

60÷（2.5﹣1）=60÷1.5=40（张）

李静集的张数为：40×2.5=100（张）；

答：张华原来有40张邮票，李静原来有100张邮票。

5. 有大小两个整千数，大数是小数的3倍，这两个数最高位上的数字的差是6，问这两个整千数各是多少？【答案】3000， 9000

【解析】试题分析：两个整千数最高位上数字的差是6，也就是这两个数的差是1000×6=6000，这个隐藏条件找到就好做了。

解：1000×6=6000

6000÷(3-1)=3000

3000×3=9000

答:小数是3000,大数是9000。

拔高题

1. 甲仓所存面粉是乙仓的3倍,从甲仓运走8500千克,从乙仓运走500千克后,两仓所剩的千克数相等,问两仓原有面粉多少千克?

【答案】12000， 4000

【解析】试题分析：由上图可以看出如果乙仓不运出粮食，甲仓运出8500-500=8000(公斤)粮食，正好相当于乙仓的2倍，可以通过这种对应关系求出乙仓存面粉的公斤数，再求甲仓存面粉的公斤数。

解：8500-500=8000(公斤)

8000÷2=4000(公斤)4000×3=12000(公斤)

答:甲仓原有面粉12000公斤，乙仓原有面粉4000公斤。

2. 有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运12吨给乙堆，那么两堆煤就一样重；如果从乙堆运12吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的2倍。这两堆煤共重多少吨？

【答案】144

【解析】试题分析：从甲堆运12吨给乙堆，那么两堆煤就一样重，说明甲队煤比乙堆煤多12×2=24吨，如果从乙堆运12吨给甲堆，那么甲堆煤就比乙堆煤多12×4=48吨，也就是此时甲堆煤比乙堆煤多2﹣1=1倍，依据除法意义，求出此时乙堆煤重量，再加12吨，也就是原来乙堆煤的重量，最后求出甲堆煤重量，根据

总重量=甲堆煤重量 乙堆煤重量 即可解答。

解：乙堆煤原有煤重量：

（12×4）÷（2﹣1） 12

=48÷1 12=48 12=60（吨）

甲堆煤原有重量：60 12×2=60 24=84（吨）

总重量：60 84=144（吨）

答：这两堆煤共重144吨，故答案为：144。

3. 甲乙两数之差是79.2，甲数的小数点向左移动一位后，正好和乙数相等，甲数是多少？

【答案】88

【解析】试题分析：根据题意，甲数的小数点向左移动一位后，正好和乙数相等，可得甲数是乙数的10倍，再根据甲乙两数之差是79.2，由差倍公式进一步解答。

解：乙数：79.2÷（10﹣1）=8.8；

甲数：8.8×10=88。

答：甲数是88。故答案为：88。

4. 今年爸爸43岁，儿子11岁。多少年后爸爸的年龄是儿子年龄的3倍？

【答案】5年后爸爸的年龄是儿子年龄的3倍

【解析】试题分析：根据“今年爸爸43岁，儿子11岁”，知道今年爸爸与儿子相差43﹣11岁，再根据年龄差不会随时间的变化而改变，利用差倍公式即可求出当爸爸的年龄是儿子年龄的3倍时，儿子的年龄，进而求出答案。

解：年龄差：43﹣11=32（岁）

儿子的年龄：32÷（3﹣1）=32÷2=16（岁）

16﹣11=5（年）

答：5年后爸爸的年龄是儿子年龄的3倍。

5. 父亲现年50岁,女儿现年14岁,几年前父亲的年龄是女儿年龄的5倍？

【答案】5

【解析】解：父女相差36岁,这个差不变。当父亲年龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁。这36岁是女儿年龄的(5-1)倍。

36÷(5-1)=9(岁)当女儿是9岁时，14-9=5，正是5年前，所以5年前，父亲年龄是女儿年龄的5倍。

拓展训练

1. 甲筐有梨400个,乙筐有梨240个,现在从两筐取出数目相等的梨，剩下梨的个数，甲筐恰好是乙筐的5倍，甲筐所剩的梨是多少个,乙筐所剩下的梨是多少个？

【答案】200 40

【解析】试题分析：如图可知,从两筐取出相等数目的梨后，甲筐剩下的个数恰好是乙筐的5倍，也就是比乙筐多4倍，甲筐比乙筐多(400-240)=160个，也就是乙筐剩下个数的4倍是160个，这样可以求出乙筐剩下的个数，然后就可求出甲筐剩下的个数。

解：乙筐剩下的个数=(400-240)÷(5-1)=40(个)

甲筐剩下的个数=40×5=200(个)

2. 小勇和小英各有钱若干元，若小勇给小英24元，二人钱数相等。如果小英给小勇27元，则小勇的钱数就是小英钱数的2倍。问小勇原有多少元，小英原有多少元？

【答案】177；129

【解析】试题分析：由第一个条件可知小勇和小英二人的钱数相差(24×2)元，由第二个条件可知，在小勇比小英多(24×2)元的基础上，小英再给小勇27元，实际小勇比小英就多了(27×2 24×2)元，这正等于小英后来钱数(2-1)倍。

解:小英的钱数:(24×2 27×2)÷(2-1) 27=129(元)

小勇的钱数:129 24×2=177(元)

答:小勇有钱177元，小英有钱129元。

3. 姐妹两人买东西,姐姐带的钱数是妹妹的2倍，姐姐用去180元，妹妹用去30元，这时二人剩下的钱数相等，问姐妹各带了多少元？

【答案】300；150

【解析】试题分析：由上图可以看出姐姐比妹妹多花180-30=150(元),正好是妹妹带的钱数的1倍,也就是妹妹带了150元,姐姐带的钱数很容易也就求出来了。

解：180-30=150(元)150×2=300(元)

答:姐姐带了300元,妹妹带了150元。

4. 有一对父子，他们年龄相差20岁零六个月。父亲的岁数又是儿子岁数的3倍。请问：再过多少年，父亲的岁数是儿子的2倍？

【答案】10年零3个月

【解析】试题分析：由题意，父子年龄相差20岁零六个月，父亲的岁数又是儿子岁数的3倍，即相差的20岁零六个月是儿子岁数的（3－1）倍，由此可求得儿子的年龄；由于父子的年龄差不会随时间而改变，所以当父亲的岁数是儿子的2倍时，他们年龄相差1倍还是20岁零六个月，即当时儿子的年龄就是20岁零六个月，用儿子后来的年龄减去原来的年龄就是再过的年数。

解：儿子的年龄：

20岁零六个月÷（3-1）=10岁零3个月，

后来儿子的年龄：

20岁零六个月÷（2-1）=20岁零六个月，

20岁零六个月-10岁零3个月=10年零3个月，

答：再过10年零3个月，父亲的岁数是儿子的2倍。

5. 今年父亲的年龄是儿子的5倍，15年后，父亲的年龄是儿子年龄的2倍，问：现在父子的年龄各是多少岁？

【答案】父亲25岁，儿子5岁

【解析】解：今年父子的年龄差是儿子的5－1＝4倍，15年后父子的年龄差是儿子的2－1＝1倍，这说明在过了15年后，儿子的年龄是现在的四倍，根据差倍问题的公式可以计算出儿子今年的年龄是15÷（4－1）＝5岁，父亲今年是5×5＝25岁。

2.行程问题

（1）行程问题中的三个基本量及其关系：

路程=速度×时间.

（2）基本类型有

① 相遇问题；

② 追及问题；一般情况下：

相背而行；行船问题；环形跑道问题.

③行船中的顺逆水问题、飞行中的顺逆风问题。

a、顺水速度=静水速度 水流速度

b、逆水速度=静水速度-水流速度

c、(顺水速度-逆水速度)÷2=水流速度。

（注：顺逆风的情况和这一样的思路）

（1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距

（2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距

（3）航行问题：

①顺水（风）速度

＝静水（风）速度＋水流（风）速度

②逆水（风）速度

＝静水（风）速度－水流（风）速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系

1）相遇问题

难度★★

甲、乙两车分别从相距360千米的两地相向开出,已知甲车速度60千米／时,乙车速度90千米／时.若甲车先开1个小时,问乙车开出多少小时后两车相遇?

【思路分析】不变的量是总路程.

甲车行驶路程 乙车行驶路程=总路程.

【答案解析】

方法1 ）设乙车开出x小时后两车相遇，由甲、乙两车所行路程之和等于总路程，可得方程60（1＋x）＋90x＝360.解这个方程，得x＝2.

答：乙车开出2小时后两车相遇。

方法2） 根据题意，甲车每小时可行驶两地全程的60/360，乙车每小时可行驶两地全程的90/360，而两车相遇则表示行驶路程之和正好等于全程.设乙车开出x小时后两车相遇，可列方程.60/360(1 x) 90/360x=1

2）追及问题

难度★★

甲、乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈．

⑴求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）

⑵若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？

【答案解析】

(1)设乙的速度是每分钟x米，3x＋150＝200×3，解得x＝150．x＋200＝150＋200＝350．

答甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米．

(2)(200×3—300×1.2)÷1.2＝(600—360)÷1.2＝240÷1.2＝200(米），200—150＝50(米）．

答：乙的速度至少要提高每分钟50米.

3）流水问题与上、下坡问题

难度★★

有甲、乙两艘船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知，须立即逆流而上返回C地执行任务，甲船继续顺流航行.已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7.5 km，水流速度为每小时2.5 km，A、C两 地间的距离为10km.如果乙船由A地经过B地再到达C地共用了4h，问:乙船从B到到达C地时，甲船距离B地有多远？

【答案解析】

设乙船由B地航行到C地用了x h，那么甲、乙两船由A地到地都用了(4－x)h.

(1)若C地在A，B两地之间，则乙船由A地航行到B地的距离是(7.5＋2.5)(4－x)km，

乙船由B地返回到C地的距离是

(7.5－2.5)(4－x)－(7.5－2.5)x＝10，

解得x＝2，（7.5＋2.5）×2＝20(km)；

(2)若C地不在A，B两地之间，则乙船由A地航行到B地的距离是(7.5＋2.5)(4－x)km，

乙船由B地返回到C地的距离是(7.5－2.5 )x km，

根据乙船从B地返回到C地的距离，乙船从A地航行到B地的距离＝A，C两地间的距离，

得(7.5－2.5)－(7.5十2.5) (4－x)＝10.

整理，得5x－10(4－x)＝10,去括号，得

5x－40＋10＝10，

解得x＝10/3，10/3×(7.5＋2.5)＝100/3(km).

答：乙船从B地到达C地时，甲船距离B地有20km或100/3 km.

3. 劳力调配问题

这类问题要搞清人数的变化

常见题型有：

（1）既有调入又有调出；

（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。

例1：某服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用750m长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?共能生产多少套?

解析：每3米布料可做上衣2件或裤子3条，意思是每1米布料可做上衣2/3件，或做裤子1条，此外恰好配套说明裤子的数量应该等于上衣的数量．

解：设做上衣需要xm，则做裤子为(750-x)m，做上衣的件数为2x/3件，做裤子的件数为3(750-x)/3，则有：

2x/3 = 3(750-x)/3

解得：x＝450，

750-x＝750-450＝300(m)， （套）

答：用450m做上衣，300m做裤子恰好配套，共能生产300套．

例2：甲队有72人，乙队有68人，需要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的3/4 .

解：设从甲队调出x人到乙队.由题意得，

72-x = 3(68 x)/4

解得，x=12.

答：需要从甲队调出 12人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的 .

例3：某中学组织七年级师生去春游，如果单租45座客车若干辆，则刚好坐满；如果单租60座的客车，则少租一辆，且余15个座位．

（1）求参加春游的师生总人数．

（2）已知一辆45座客车的租金每天250元，一辆60座客车的租金每天300元，问单租哪种客车省钱？

解析：（1）设单租45座客车x辆，则参加春游的师生总人数为45x人，根据题意，得

45x = 60(x-1)-15

解得x=5

所以参加春游的师生总人数为

45x= 45x 5=225人．

（2）单租45座客车的租金：250×5=1250（元），

单租60座客车的租金：300×4=1200（元），

因为1200<1250，

所以单租60座客车省钱．

例4：某幼儿园给小朋友分苹果，若每个小朋友分3个则剩1个；若每个小朋友分4个则少2个，问苹果有多少个？

解：设共有x个苹果，有题意知

（x-1）/3 = (x 2)/4

解得x = 10

(本题还可以一种设法，就是设小朋友的人数是x,您会列方程吗？下面回复列出的方程，给您看看，相信学了这么多，一定没有问题的）。

练习：1、某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5 立方米或运土3 立方米，为了使挖出的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的工人?

2、某商店选用A、B两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为使这种杂拌糖果的售价是每千克25元，要配制这种杂拌糖果100千克，问要用这两种糖果各多少千克？

3、某中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人，如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完。问敬老院有多少位老人

答案：1、答：应安排45人挖土，75人运土。2、答：要用A、B两种糖果分别为62.5千克和37.5千克。3、答：敬老院有16位老人？

4. 工程问题

工程问题中的三个量及其关系为：

工作总量=工作效率×工作时间

（一）知识点

1.工程问题中的三个量及其关系为：

工作总量＝工作效率×工作时间

2.经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。即

完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．

（二）例题解析

1.一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？

解：设还需要X天完成，依题意，得

(1/10 1/15)×4 1/15X=1

解得X=5

2.某工作，甲单独干需用15小时完成，乙单独干需用12小时完成，若甲先干1小时、乙又单独干4小时，剩下的工作两人合作，问：再用几小时可全部完成任务？

解：设甲、乙两个龙头齐开x小时。由已知得，甲每小时灌池子的1/2，乙每小时灌池子的1/3 。

列方程：

1/2×0.5 ( 1/2 1/3 )x=2/3,

1/4 5/6x=2/3,

5/6x= 5/12

x=1

答：再用X小时完成任务。

3.某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时，不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件？

解：(X/26 5)×24-60=X，

X=780

答：（略）

4.某工程，甲单独完成续20天，乙单独完成续12天，甲乙合干6天后，再由乙继续完成，乙再做几天可以完成全部工程?

解：1 - 6(1/20 1/12 )= (1/12)X，X=2.4

5.已知甲、乙二人合作一项工程，甲25天独立完成，乙20天独立完成，甲、乙二人合5天后，甲另有事，乙再单独做几天才能完成？

解：1 －(1/25 1/20) ×5=(1/20)X，X=11

6.将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？

解：1-1/6×1/2=(1/6 1/4)X， X=11/5， 2小时12分

5. 商品销售问题

有关关系式：

商品利润=商品售价—商品进价

=商品标价×折扣率—商品进价

商品利润率=商品利润/商品进价

=商品售价—商品进价/进价

商品售价=商品标价×折扣率

例：某商品的进价是2000元,标价为3000元,商店将以利润率为5%的售价打折出售此商品,则该商店打几折出售此商品?

解:设利润率为5%时售价为x元.根据题意

（x-2000）/2000·100%=5%解得x=2100.

所以2100/3000=7/10答:该商店打7折出售此商品.

6. 数字问题

（1）要搞清楚数的表示方法：

一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a 10b c.

（2）数字问题：

两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n 2或2n—2表示；奇数用2n 1或2n—1表示.

（一）知识点

（1）要搞清楚数的表示方法：

一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a 10b c。然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。

（2）数字问题中一些表示：

两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n 2或2n—2表示；奇数用2n 1或2n—1表示。

（二）例题解析

1. 一个三位数，三个数位上的数字之和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍，求这个三位数。

解：设这个三位数十位上的数为X，则百位上的数为X 7，个位上的数是3x

x x 7 3x=17

解得x=2x 7=9，3x=6

答：这个三位数是926

2. 一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数。

等量关系：原两位数 36=对调后新两位数

解：设十位上的数字X，则个位上的数是2X，10×2X X=（10X 2X） 36

解得X=4，2X=8，

答：原来的两位数是48。

7. 储蓄问题

⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税

⑵ 利息=本金×利率×期数

本息和=本金 利息

利息税=利息×税率（20%）

例：李明以两种方式储蓄了500元钱,一种方式储蓄的年利率是5%,另一种是4%,一年后共得利息23元5角,求两种储蓄各存了多少元钱？

解:设年利率是5%的储蓄存了x元,

则年利率是4%的储蓄存了(500-x)元.根据题意,

得x·5%·1 (500-x)·4%·1=23.5解得x=350所以500-x=500-350=150答:年利率是5%和4%的储蓄分别存了350元和150元.

8. 按比例分配问题

甲：乙：丙=a:b:c,

全部数量=各部分成分含量之和，

一般设的的时候为：ax,bx,cx。

例如：甲、乙、丙的和为369，且甲：乙：丙=3:5:9,则设甲为3x,乙为5x,丙为9x,则：3x 5x 9x=369。

例：某种中药含有甲、乙、丙、丁四种草药成分,其质量比是0.7:1:2:4.7,现要配制这种中药2100克，四种草药分别需要多少克？

解:设需要甲种草药0.7x克,乙种草药x克,

丙种草药2x克,丁种草药4.7x克.依题意,得

0.7x x 2x 4.7x=2100.解得x=250.所以0.7x=0.7250=175,

2x=2x250=500,

4.7x=4.7x250

=1175答:需要甲种草药175克,乙种草药250克,丙种草药500克,丁种草药1175克

9. 日历中的问题

①日历中每一行上相邻两数，右边比左边大1.

②日历中每一列上相邻的两数下面的数比上面的大7，且日历中数字a的取值是在1~31之间。

例：在一本挂历上,圈住四个数,这四个数恰好构成一个正方形,且它们的和为48,则这四个数为___.

思路导引:设这四个数中左上角的数为x,

则左下角的数为x 7,

右上角的数为x 1,

右下角的数为x 8.

根据题意,得

x (x 1) (x 7) (x 8)=48.解得x=8.

故这四个数分别为8,9,15,16.答案:8,9,15,16.

例题解析：

1.如果某一年的5月份中，有5个星期五，且它们的日期之和为80，那么这个月的4号是星期几？设第一个星期五为x号，依题意得：
x x 7 x 14 x 21 x 28=80，
5x 70=80，
5x 70-70=80-70，
5x÷5=10÷5，
x=2．
因此这个月的4日是星期日
答：这个月的4号是星期日

2.下表是2011年12月的日历表，请解答问题：在表中用形如下图的平行四边形框框出4个数，
(1)若框出的4个数的和为74，请你通过列方程的办法，求出它分别是哪4天？
(2)框出的4个数的和可能是26吗？为什么？

（1）设第一个数是x，
则根据平行四边形框框出4个数得其他3天可分别表示为x 1，x 6，x 7，
则：x x 1 x 6 x 7=74，
解得：x=15；
所以它分别是：15，16，21，22；
（2）设第一个数为x，则4x 14=26，4x=12，x=3，
本月3号是周六，由平行四边形框框出4个数，
得出结论：无法构成平行四边形。

10. 比赛得分规则

①总积分=胜场得分 平场得分 负场得分

②胜场得分=胜一场分数×胜场数

③平场得分=平一场分数×平场数

④负场得分=平一场分数×负场数

⑤总场数=胜场数 平场数 负场数

例：比赛积分问题举例

队名	比赛场次	胜	负	积分
堡集	7	7	0	14
一中	7	6	1	13
三中	7	5	2	12
滨北	7	4	3	11

某地“奥博园丁杯”篮球赛前四强积分榜如上：(1)观察积分表,你能获得哪些信息?(2)观察积分表,请你用式子将积分与胜、负场数之间的数量关系表示出来.(3)小明问:“在这次比赛中,一个队的胜场总积分能不能等于它的负场总积分?”你能帮助他解答吗？

(1) 由堡集代表队和一中代表队可看出，

胜一场得2分,负一场得1分,

胜场数 负场数=总比赛场数等信息(2)通过表格可看出

胜场数x2 负场数x1=总积分.

如果设一个队胜m场,那么负(7-m)场.于是,该队总积分=2m 1×(7-m)=m 7.(3)设一个队胜m场,则负(7-m)场.

若这个队的胜场总积分等于它的负场总积分，则得方程2m=1·(7-m)解得m=7/3显然,没有一个队的胜场总积分等于负场总积分.

11.等积变形问题

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：

①形状面积变了，周长没变；

②原料体积＝成品体积.

例：用直径为4cm的圆钢,铸造3个直径为2cm,高为16cm的圆柱形零件,求需要截取多长的圆钢.

解:设需要截取x cm长的圆钢.根据题意,得4·π·（4/2）^2

=3·π·（2/2）^2·16解得x=12答:需要截取12cm长的圆钢。

12. 分阶段收费问题

一般情况下分两个阶段：

①在某一范围内收费标准；

②超出范围的收费标准的计算方法。

总费用=范围内的费用 超出范围的费用。

解决计费问题的关键是弄清计费方式。常见的类型有:(1)已知用电量(用水量、上网时间等),求应缴纳的费用;(2)已知缴纳的钱数,求用电量(用水量、上网时间等)。

经典例题

为了节约能源,某市按以下规定收取每月电费:如果用电量不超过140度，每度按0.56元收费,如果超过140度,超过部分每度按0.61元收费.1)若某用户5月份的用电量是200度,则应缴纳电费多少元?2)若某用户4月份的电费是120元，则4月份的用电量是多少度(精确到0.1度)?3)若某用户4月份平均每度的电费为0.59元，则该用户4月份应缴纳电费多少元?

解题秘籍

(1)根据“应交电费=用电量x电价”,列出式子解答;(2)(3)找出该用户4月份的用电量的梯度,列出方程解答即可.

解题示范

解：1)当某用户5月份的用电量是200度时,应交电费为：

（140x0.56 200- 140)x0.61= 115(元).

2)因为140*0.56=78.4<120,以该用户4月份的用电量超过了140度.

设该用户4月份的用电量是x度.则

140>0.56 (x- 140)x0.61 = 120,

解得x≈208.2.

答：该用户4月份的用电量约是208.2度.

3 )因为0.59 > 0.56,所以该用户4月份的用电量超过了140度.

设该用户4月份的用电量是y度，

140>0.56 (y-140)x0.61 =0.59y ,

解得 y= 350.50x0.59 = 206.5.

答：该用户4月份应缴纳电费206.5元.

举一反三

1.某市为更有效地利用水资源，制订了居民用水收费标准:若一户每月用水量不超过15 立方米则每立方米按1.8元收费;若超过15立方米，则超过部分按每立方米2.3元收费，其余仍按每立方米1.8元计算.另外,每立方米加收污水处理费1元.若某户一月份共支付水费58.5元,求该户一月份用水量。

2、为了合理利用电力资源，缓解用电紧张状况，某市电力部门门出台了使用“峰谷电”的政策及收费标准(见下表)，已知王老师家4月份使用“峰谷电”95千瓦时，缴电费43.40元，问王老师家4月份“峰电"和“谷电”各用了多少千瓦时? 用电时间段 → 收费标准峰电 08: 00~22: 00 → 0.56元/度谷电 22: 00~08: 00 → 0.28元/度

3、《中华 人民共和国个人所得税》规定，公民月工资、薪金所得不超过1600元的部分不纳税，超过1600元的部分为全月纳税所得税，此项税款按下表分段累计计算:若某人1月份应交纳此项税款为115元，则他的当月工资、薪金为多少?

参考答案